همه ما قضیه فیثاغورث را می‌دانیم: a به توان دو به‌اضافه b به توان دو، برابر است با c به توان دو، در جایی که a و b اضلاع کوتاه‌تر مثلث هستند و c ، وتر یا ضلع بزرگ‌تر مثلث است.
اما رونالد گراهام، یکی از ریاضی‌دانان مطرح دهه ۸۰، مساله‌ای محاسباتی را طرح کرد و برای حل آن، ۱۰۰ دلار جایزه تعیین کرد: «مساله سه‌گانه فیثاغورث»؛ این مساله این‌گونه تعریف می‌شود: در فرمول فیثاغورث، که یکی از پایه‌های نظریه اعداد و هندسه است، مجموعه‌هایی خاص از «سه عدد صحیح مثبت» را می‌توان در این گنجاند؛ برای مثال، مجموع ۳ به توان دو و ۴ به توان دو، برابر است با ۵ به توان دو. ازآنجاکه تعداد این سه‌تایی‌ها نامتناهی است، سوالی که رونالد گراهام مطرح کرد این بود که آیا می‌توان تمام اعداد صحیح مثبت را به دو گروه تقسیم کرد، طوری‌که هیچ گروهی شامل یک سه‌تایی کامل فیثاغورثی نباشد؟ به عبارت ساده‌تر می‌توان این مساله را مانند رنگ‌آمیزی اعداد به قرمز یا آبی تصور کرد، به‌طوری‌که هیچ سه‌تایی فیثاغورثی تک‌رنگ وجود نداشته باشد؛ البته سه‌گانه‌های فیثاغورثی از دوران باستان شناخته شده‌اند. قدیمی‌ترین سند مربوط به آن‌ها، لوح گلی بابلی متعلق به حدود ۱۸۰۰ سال قبل از میلاد است؛ این لوح ازسوی ادگار جیمز بانکس کمی پس از سال ۱۹۰۰ کشف و در سال ۱۹۲۲ به جورج آرتور پلیمپتون به قیمت ۱۰ دلار فروخته شد.
به‌هرحال در سال‌های اخیر، فرضیه رونالد گراهام، توجه دانشمندان را به خود جلب کرد و منجر به یک رکوردشکنی در حجم داده‌های پردازش شده شد؛ نتیجه آن‌که محققان موفق به رد این فرضیه شدند و دریافتند که چنین چیزی در ریاضیات وجود نداشته و آن را نفی کرده‌اند.
در این رابطه، ابتدا در سال ۲۰۱۵، پژوهشگران با روش brute-force (امتحان تمام ترکیبات ممکن) توانستند ۷۶۶۴ عدد اول را به‌درستی رنگ‌آمیزی کنند. اما مساله اصلی این بود: «بزرگ‌ترین عددی که می‌توان قبل از غیرممکن شدن رنگ‌آمیزی پیدا کرد، کدام است؟» و این‌گونه بود که گروهی از محققان دانشگاه تگزاس، کنتاکی و سوانسی موفق به یافتن اثباتی جدید برای سوال رونالد گراهام شدند؛ محققان این پژوهش با استفاده از ۲۰۰ ترابایت داده ثبت شده، توانستند پاسخ پیشینی را که برای این فرضیه اعلام شده بود رد کرده و به حل این مساله بپردازند.
آن‌ها در سال ۲۰۱۶ و پس از زمانی بالغ بر ۳۰ سال، با توسعه الگوریتم‌ها، اجرای محاسبات توزیع شده و تحلیل نتایج، به پاسخی قطعی و متفاوت از پاسخ‌های پیشین رسیدند.
«مارجین هیو» ریاضی‌دان دانشگاه تگزاس، «ویکتور مارک» از دانشگاه کنتاکی و «اولیور کولمن» از دانشگاه سوانسی، با همکاری یکدیگر موفق به کشف پاسخ این مساله شدند.
این سه نفر با ترکیب «نظریه رمزی» و «حل‌کننده‌های SAT» (برنامه‌های رایانه‌ای که مسایل منطقی را تحلیل می‌کنند)، این مساله را روی ابررایانه دانشگاه تگزاس اجرا کردند و توانستند رقم ترکیب رنگی احتمالات موجود را از ۱۰۲۳۰۰ تریلیارد به یک تریلیارد کاهش دهند. در‌نهایت آن‌ها نشان دادند برای اعداد تا ۷۸۲۴، چنین رنگ‌آمیزی‌ای ممکن است اما درصورتی که از ۷۸۲۵ عدد صحیح یا بیش از این استفاده کنید، امکان ایجاد الگویی که گراهام به‌دنبال آن بود، از بین خواهد رفت.
به عبارت بهتر، اعداد بین ۱ تا ۷۸۲۴ می‌توانند به رنگ قرمز یا آبی باشند درحالی‌که هیچ‌یک از اعداد سه‌گانه a و b و c در قضیه فیثاغورث همرنگ نباشند. همان‌طور که معلوم است، تعداد راه‌های ممکن برای رنگ کردن اعداد صحیح از یک تا ۷۸۲۵ بسیار زیاد و غول‌آساست (عدد ۱ با ۲۳۰۰ تا صفر جلوی آن). این عدد بسیار بزرگ است، به مراتب بیشتر از تعداد ذرات بنیادی در جهانِ قابل‌مشاهده است که صرفا ۱۰۸۵ تاست.
با همه این‌ها، طبق گزارش نیچر، این دانشمندان با صرف دو روز و استفاده از ۸۰۰ پردازنده عظیم و پرقدرت و با بررسی سه‌تایی‌ها برای اعداد بسیار بزرگ، محاسبات گسترده و ذخیره‌سازی نتایج میانی، با ثبت ۲۰۰ ترابایت داده، موفق به حل این مساله شدند. برای درک ۲۰۰ ترابایت، بد نیست بدانید که یک ترابایت، برابر با ۳۳۷هزار و ۹۲۰ نسخه کپی از رمان مشهور «جنگ و صلح» (یکی از طولانی‌ترین رمان‌های طول تاریخ) است. این حجم عظیم، که برابر با تمامی متون دیجیتالی شده در کتابخانه کنگره آمریکاست، نشان‌دهنده استفاده از روش‌های محاسباتی پیشرفته و بررسی میلیاردها ترکیب ممکن از اعداد است. جالب این‌که، رکورد سابق برای طولانی‌ترین راه‌حل و اثبات برای یک مساله ریاضی، ۱۳ گیگابایت بوده که در سال ۲۰۱۴ منتشر شده است. به‌هرحال، این سه ریاضی‌دان، نسخه‌ای فشرده و ۶۸ گیگابایتی از راه‌حل خود ایجاد کردند که دانلود، بازسازی و تایید آن ۳۰هزار ساعت زمان می‌برد؛ از این رو، ریاضی‌دانان از رایانه‌ای دیگر برای تایید راه‌حل و پاسخ خود استفاده کردند تا گراهام از نتیجه درست این راه‌حل اطمینان حاصل کرده و با رضایت، چک ۱۰۰ دلاری جایزه را برای آن‌ها پست کند!
در نهایت، این راه‌حل، جایزه گراهام را برد اما بسیاری از ریاضی‌دانان آن را یک «اثبات واقعی» ندانستند، زیرا «غیرقابل‌فهم برای انسان» است و بینش ریاضی جدیدی ارایه نمی‌دهد.
علاوه‌برآن «پرسش‌های بعدی»، مثل حالت سه‌رنگ یا معنای عدد ۷۸۲۵، را پاسخ نمی‌دهد. به‌هرحال این مساله نه‌تنها یک چالش نظری بود، بلکه به درک بهتر ساختارهای ترکیباتی و نظریه اعداد کمک می‌کند. همچنین، روش‌های محاسباتی استفاده‌شده می‌تواند الهام بخش حل مسایل مشابه در ریاضیات گسسته باشد؛ به عبارت بهتر، این پروژه نمونه‌ای شگفت‌انگیز از همگرایی ریاضیات محض و فناوری‌های محاسباتی است، چراکه حل چنین مسایلی نه‌تنها درک ما از نظریه اعداد را عمیق‌تر می‌کند، بلکه مرزهای توانایی محاسباتی بشر را نیز گسترش می‌دهد. در انتها می‌توان به این نکته اشاره کرد که حجم بی‌سابقه ۲۰۰ ترابایت داده و زمان ۳۰ساله، اهمیت پایداری و تلاش جمعی در پیشبرد علوم ریاضی را برجسته می‌کند.
از کاربردهای قضیه فیثاغورث در مهندسی، فیزیک و معماری چه می‌دانیم؟
قضیه فیثاغورث یک قضیه ریاضی باستانی و یکی از اساسی‌ترین و مهم‌ترین مفاهیم در هندسه اقلیدسی دوبعدی محسوب می‌شود. این قضیه نه‌تنها به دانش‌آموزان کمک می‌کند اضلاع یک مثلث قایم‌الزاویه را روی کاغذ پیدا کنند، بلکه در مهندسی، فیزیک و معماری نیز کاربردهای گسترده‌ای دارد. قضیه فیثاغورث در حوزه‌های مختلفی ازجمله ساخت‌وساز، تولید و ناوبری حیاتی است و امکان اندازه‌گیری دقیق و ایجاد زوایای قایمه برای سازه‌های بزرگ را فراهم می‌کند؛ به عبارتی دیگر، این قضیه پایه و اساس کل سیستم اندازه‌گیری ماست و ناوبری دقیق خلبانان و کشتی‌ها را ممکن می‌سازد؛ برای مثال، این قضیه به خلبانان اجازه می‌دهد در آسمان‌های طوفانی ناوبری کنند، در ناوبری هم، این قضیه به ناخدا کمک می‌کند تا فاصله دو نقطه را در اقیانوس محاسبه کند. این قضیه در نقشه‌برداری هم برای محاسبه شیب تپه‌ها و کوه‌ها استفاده می‌شود؛ از سوی دیگر، اندازه‌گیری‌های GPS از طریق محاسبه فواصل و زوایا، با استفاده از این قضیه انجام می‌شود. این قضیه در هندسه، فیزیک، زمین‌شناسی، مهندسی و حتی کاربردهای عملی مانند نجاری و ماشین‌کاری ضروری است. به گفته دونالد آلن، استاد ریاضیات، یکی از کاربردهای کلاسیک این قضیه در پی‌ریزی ساختمان‌هاست: «به‌عنوان نمونه، برای ایجاد یک پایه مستطیلی، برای یک معبد، باید زوایای قایمه دقیقی ساخت. اما چگونه می‌توان این کار را انجام داد؟ با چشم؟ این روش برای سازه‌های بزرگ جواب نمی‌دهد اما وقتی طول و عرض را دارید، می‌توانید از قضیه فیثاغورث برای ایجاد زاویه قایمه دقیق استفاده کنید.»
ازآنجاکه مثلث‌ها همیشه از قوانین مشخصی پیروی می‌کنند، می‌توان از مفاهیمی مانند فرمول قضیه فیثاغورث (و بعدها مثلثات) برای یافتن تمام پارامترهای یک مثلث (مقادیر زاویه، طول اضلاع) استفاده کرد، به‌شرطی که حداقل یکی از آن‌ها مشخص باشد. به عبارت بهتر، قضیه فیثاغورث ساده‌ترینِ این مفاهیم است و به ما اجازه می‌دهد طول ضلع سوم یک مثلث قایم‌الزاویه را به‌راحتی محاسبه کنیم، اگر دو ضلع دیگر معلوم باشند؛ پس در یک مثلث قایم‌الزاویه فرضیabc، خواهیم داشت a² + b² = c². در این فرمول، c² برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر که در آن c وتر (بلندترین ضلع مثلث قایم‌الزاویه) است و همیشه مقابل زاویه قایمه قرار دارد. دراین‌میان، اگر مثلث دارای دو ضلع مجهول باشد، باید از فرمول‌های مثلثاتی پیچیده‌تر و اثبات‌های جبری برای یافتن آن‌ها استفاده کرد. این قضیه ریاضی، همچنین در مسایل فیزیکی مانند بردارهای نیروی مثلثاتی نیز کاربرد دارد؛ البته مثلث‌های بدون زاویه قایمه، مانند مثلث متساوی‌الاضلاع یا متساوی‌الساقین، با قضیه فیثاغورث قابل‌حل نیستند. برای حل آن‌ها باید از اشکال کوچک‌تر یا فرمول‌های پیچیده‌تر استفاده کرد. یکی دیگر از مفاهیم مفید مرتبط با اثبات قضیه فیثاغورث، ایده «سه‌گانه فیثاغورث» است. این‌ها درواقع مثلث‌های قایم‌الزاویه‌ای هستند که طول اضلاع آن‌ها اعداد صحیح است. رایج‌ترین شکل «سه‌تایی فیثاغورثی» که در آموزش ریاضی با آن مواجه می‌شوید، مثلث (۳، ۴، ۵) است. اگر دو ضلع یک مثلث قایم‌الزاویه ۳ و ۴ باشد، وتر همیشه ۵ خواهد بود. نمونه‌های دیگر از سه‌تایی‌های فیثاغورثی شامل موارد زیر است: (۵، ۱۲، ۱۳)/ (۷، ۲۴، ۲۵)/ و (۸، ۱۵، ۱۷). در انتها، اگر یک «سه‌گانه فیثاغورث» را در یک عدد مثبت ضرب کنیم، یک «سه‌گانه» مشابه به دست می‌آید؛ مثلا با ضرب (۳، ۴، ۵) در ۲، به (۶، ۸، ۱۰) می‌رسیم: ۶۲ + ۸۲ = ۱۰۲ و ۳۶ + ۶۴ = ۱۰۰ .
دیدگاهتان را بنویسید